اكتشف العرب علم الجبر واشتغلوا بالجبر وألفوا فيه بصورة علمية منظمة، حتى أن كاجوري قال: “إن العقل ليدهش عندما يرى ما عمله العرب في الجبر..”

و الجَبْر هو فرع من علم الرياضيات وجاء اسم الجبر من كتاب عالم الرياضيات والفلكي والرحالة محمد بن موسى الخورازمي (الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة) الذي قدم العمليات الجبرية التي تنظم إيجاد حلول للمعادلات الخطية والتربيعية. والكلمة (الجبر) مأخوذة من اللغة العربية، ومعنى علم الجبر في قاموس المعاني: (فَرْعٌ مِنَ الرِّيَاضِيَّاتِ يَقُومُ عَلَى إِحْلاَلِ الرُّمُوزِ مَحَلَّ الأَعْدَادِ المجْهُولَةِ أَوِ الْمَعْلُومَةِ )

ويشكل علم الجبر أحد الفروع الثلاثة الأساسية في الرياضيات إضافة إلى الهندسة الرياضية والتحليل الرياضي ونظرية الأعداد والتباديل والتوافيق. ويهتم هذا العلم بدراسة البنى الجبرية والتماثلات بينها، والعلاقات والكميات.

والجبر هو مفهوم أوسع وأشمل من الحساب أو الجبر الابتدائي. فهو لا يتعامل مع الأرقام فحسب، بل يصوغ التعاملات مع الرموز والمتغيرات والفئات كذلك. ويصوغ الجبر البدهيات والعلاقات التي بواسطتها يمكن تمثيل أي ظاهرة في الكون. ولذا يعتبر من الأساسيات المنظمة لطرق البرهان.

الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة للخوارزمي، أحد صفحات الكتاب

وفي عام 830م أطلق العرب على علم الجبر هذا الأسم لأول مرة، ففي بغداد أسس الخوارزمي علم الجبر والمقابلة في القرن التاسع الميلادي. إن أعمال الخوارزمي العديدة في علم الحساب وفي مجال الجبر كانت نتيجة تجميع وتطوير المعلومات التي كانت موجودة مسبقا عند علماء الإغريق وعلم الحساب في الهند، فأعطاها طابعه الخاص من الالتزام بالمنطق.

فعلم الجبر علم عربي سماه العرب بلفظ من لغتهم، والخوارزمي هو الذي سمّاه بهذا الاسم الذي انتقل إلى اللغات الأوروبية بلفظه العربي ALGEBRA. وترجم هذا الكتاب إلى اللغة اللاتينية في عام 1135م. وظل يدرس في جامعات أوروبا حتى القرن السادس عشر. كما أنتقلت الأرقام العربية إلى أوروبا عن طريق ترجمات كتب الخوارزمي الذي أطلق عليه في اللاتينية “الجورزتمي “ALGORISMO ثم عدل الجورزمو ALGORISMO للدلالة على نظام الأعداد وعلم الحساب والجبر وطريقة حل المسائل الحسابية.

ثم ظهر الجبر كفرع للرياضيات في نهايات القرن السادس عشر للميلاد مع أعمال فرانسوا فييت. إذ ينظر للجبر بشكل أساسي كأداء الحسابات بطريقة مشابهة للطرق العادية ولكن بدون قيم رقمية. مع هذا، كان الجبر يتكون بشكل رئيس من نظرية المعادلات إلى نهاية القرن التاسع عشر، فعلى سبيل المثال، تنتمي المبرهنة الأساسية في الجبر إلى نظرية المعادلات ولا تنتمي، في الوقت الحالي، إلى الجبر. يُعتبر علم الجبر علما شاملاً أكثر من أي فرعٍ آخر من فروعِ الرياضيات والحساب؛ إذ يعتمد على صياغة المعادلات المتكونة من المُتغيرات والفئات، ويُهمل الأرقام تماماً، ويُعّد من أساسيات تنظيم البرهان وطرقه، وذلك نظراً لقدرته على صياغة البديهيات والعلاقات التي يعتمد عليها في تمثيل أي ظاهرةٍ ويقدم الدلائل والبراهين على وقوع الأشياء من ناحية رياضية يمكن عكسها على الواقع العملي. يمكن تتبع جذور علم الجبر إلى قدماء البابليين

،الذين طوروا نظاماً حسابياً متقدماً كان قادراً على القيام بعمليات حسابية بطريقة خوارزمية. فطور البابليون الصيغ لحساب الحلول لمسائل تُحل عادةً اليوم باستخدام المعادلات الخطية والمعادلات التربيعية والمعادلات الخطية غير المحددة.

وعلى النقيض من ذلك، فإن معظم قدماء المصريين في ذلك العصر، وكذلك علماء الرياضيات اليونانية والصينية في الألفية الأولى قبل الميلاد كانت تحل عادةً مثل هذه المعادلات بالطرق الهندسية، مثل تلك التي وصفت في بردية ريند الرياضية وأصول أقليدس والفصول التسعة في الفن الرياضي. لقد وفر العمل الهندسي لليونانيين، والمعتمد على العناصر، إطاراً لتعميم الصيغ ما وراء حل مسائل معينة إلى أنظمة أكثر عمومية من صياغة وحل المعادلات، وعلى الرغم من أن هذا لم يلاحظ حتى تطورت الرياضيات في عصر الحضارة الإسلامية.

أصل كلمة الجبر
مشتق من كلمة “الجبر” من الكلمة العربية الجبر، وهذا يأتي من مقال كتب في عام 830 من قبل عالم الرياضيات الخوارزمي في العصور الوسطى، يمكن ترجمة كتاب المستقبل والمقارن ككتاب مختصر عن الحساب عن طريق الإكمال والموازنة.

ويفترض أن كلمة “الجبر” تعني شيئًا مثل “الاستعادة” أو “الاستكمال” ويبدو أنها تشير إلى نقل المصطلحات المطروحة إلى الجانب الآخر من المعادلة؛ يقال أن كلمة “مقبل” تشير إلى “اختزال” أو “موازنة”، أي إلغاء المصطلحات المماثلة في طرفي المعادلة. لقد كان التأثير العربي واضحا في إسبانيا بعد وقت طويل من العثور على مؤلفات الخوارزمي في دون كيشوت، حيث يتم استخدام كلمة “algbrista” لجابر العظام أو المعالج، أي بمعنى ال”مرمم”. ويستخدم هذا المصطلح من قبل الخوارزمي لوصف العمليات التي قدمها ” الاختزال”و” الموازنة “، في إشارة إلى تحويل المصطلحات التي تم طرحها إلى الجانب الآخر من المعادلة، أي إلغاء المصطلحات المماثلة على طرفي النقيض من المعادلة.

الفرق بين معاني الجبر

يوجد لذالك الوصف نفس الاختلاف:

  • بدون المادة. تعني جزء من علم الجبر، مثل الجبر الخطي، الجبر الابتدائي (قواعد معالجة-الرموز التي تدرس في مناهج الرياضيات كجزء من التعليم الأساسي والتعليم الثانوي) أو الجبر المجرد (دراسة الهياكل الجبرية مع المادة).
  • فهذا يعني إنه مثيل لبعض التراكيب المجردة، مثل جبر تبادلي أو الجبر الترابطي.
  • كما هو الحال في الجملة: الجبر التبادلي هو دراسة الحلقات، الحلقات التبادلية، التي تعرف كلها بالجبر التبادلي على الأعداد الصحيحة.

مصطلح علم الجبر أحياناً يستخدم للدلالة على عمليات وأساليب جبرية بينما الهيكل أو البنية الأساسية لها لا تتعلق بعلم الجبر. على سبيل المثال، الجبر هو سلسلة لا نهائية من الممكن أن تدل على سلسلة من الأساليب الحاسوبية دون استخدام مفاهيم لا نهائية من الجمع، الحدود والتقارب. الصفة “جبري” عادة تعني ما يتعلق بالجبر، كما في الهيكل الجبري . ولأسباب تاريخية، قد تعني أيضاً العلاقة بجذور معادلات متعددة الحدود، كما في العدد جبري، والإمتداد جبري أو التعبير جبري

علم الجبر كأحد فروع علم الرياضيات

إن أهم ما يُعرف به علم الجبر هو تشابه عملياته  الحسابية بالعمليات الحسابية البسيطة، إلا أن الفرق أنه يتضمن متغيرات رياضية غير معروفة القيمة. هذه المتغيرات تمثّل أرقامًا لم تُعرف بعد (مجهولة) أو أرقامًا غير محددة (متغير أو مُعامل)، مما يسمح للفرد أن يُثبت صحة هذه الخصائص بغض النظر عن الأرقام محل النظر. مثلًا في هذه المعادلة التربيعية التالية:

أ س 2 + ب س + ج = 0

أ وَ ب وَ ج مجاهيل وَ س مُعامل. وحل هذه المعادلة يتطلب حساب المجاهيل والتعبير عن قيمة المُعامل حساب علاقته بالمجاهيل، وبهذا يتم إعطاء حل للمعادلة المعينة بعد القيام بعمليةٍ حسابية بسيطة.

كما تطور علم الجبر فقد توسع إلى اشياء أخرى غير عددية، مثل المتجهات والمصفوفات أو متعددة الحدود. ثم تم تلخيص الخصائص الهيكلية لهذه الاشياء غير العددية لتحديد الهياكل الجبرية  مثل  المجموعات،  ودوائر والحقول والجبر. قبل القرن السادس عشر، تم تقسيم الرياضيات إلى قسمين فرعيين فقط هما  الحساب والهندسة. على الرغم من بعض الأساليب التي وضعت في وقت قبل ذلك بكثير، ويمكن النظر لها في الوقت الحاضر كالجبر فان ظهور الجبر بعد ذلك بوقت قصير، وحساب التفاضل والتكامل كحقول فرعية صغيرة للرياضيات يعود فقط للقرن 16 أو 17. أو من النصف الثاني من القرن 19 على الأقل، ظهرت العديد من المجالات الجديدة للرياضيات، وبعضها شملت علم الجبر، إما كليا أو جزئيا.

ويتبع ذلك أن الجبر بدلا من أن يكون فرعا من فروع الرياضيات، أصبح هذه الأيام مجموعة من فروع طرق المشاركة الشائعة. وهذا يُرى بشكل واضح في تصنيف مواضيع الرياضيات  حيث ولا واحد من مناطق المستويات الأولى (مدخلات الأعداد الثنائية) تسمى الجبر.

في الحقيقة الجبر على وجه التقريب، هو اتحاد أقسام أنظمة الجبر العامة ونظرية الحقول ومتعددات الحدود و الجبر التبادلي و الجبر الخطي والمتعدد الخطي ؛نظرية المصفوفات و الحلقات الترابطية والجبر و الحلقات الغير ترابطية والجبر و نظرية التصنيف الجبر التماثلي  ونظرية كاي ونظرية المجموعة. بعض مناطق المستوى الأول ربما تعتبر أنها تنتمي إلى الجبر بشكل جزئي مثل نظرية الأعداد (بشكل عام لنظرية العدد الجبري) و الهندسة الجبرية.

يمكن تتبع جذور علم الجبر إلى قدماء البابليين ، الذين طوروا نظاماً حسابياً متقدماً كان قادراً على القيام بعمليات حسابية بطريقة خوارزمية. فطور البابليون الصيغ لحساب الحلول لمسائل تُحل عادةً اليوم باستخدام المعادلات الخطية والمعادلات التربيعية والمعادلات الخطية غير المحددة. وعلى النقيض من ذلك، فإن معظم المصريين في ذلك العصر، وكذلك بالرياضيات اليونانية والصينية في الألفية الأولى قبل الميلاد، تحل عادةً مثل هذه المعادلات بالطرق الهندسية، مثل تلك التي وصفت في بردية ريند الرياضية وأصول أقليدس والفصول التسعة في الفن الرياضي. وفر العمل الهندسي لليونانيين، متميزاً بالعناصر، إطاراً لتعميم الصيغ ما وراء حل مسائل معينة إلى أنظمة أكثر عمومية من صياغة وحل المعادلات، وعلى الرغم من أن هذا لم يلاحظ حتى تطورت الرياضيات في العصور الوسطى من الإسلام.

خضعت الرياضيات الإغريقية لتغير جذري في عصر أفلاطون. أنشأ الإغريق الجبر الهندسي حيث مثلت المصطلحات من جوانب الأشكال الهندسية، وكما جرت العادة بالخطوط التي كانت تحتوي على حروف مرتبطة بها. ديوفانتوس الإسكندري(القرن الثالث ميلادي)، يسمى أحيانا “والد الجبر” ، كان عالم رياضيات إغريقيا إسكندريا ومؤلف سلسلة من الكتب تسمى ارثميتكا .تبحث كتبه في حل المعادلات الجبرية. تأتي كلمة الجبر من اللغة العربية (الجبر بمعنى الترميم أو الاستعادة) وكما تأتي الكثير من أساليبها من الرياضيات العربية/ الإسلامية. أثرت التقاليد التي نوقشت في أعلاه بشكل مباشر على محمد بن موسى الخوارزمي (عام 780-850). لاحقا، ألف كتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة، الذي أنشأ علم الجبر كتخصص رياضيات مستقل عن الهندسة وعلم الحساب.

أكمل عالما الرياضيات الهيلينستيان هيرو السكندري وديوفانتس مثلهم مثل العلماء الهنود في الرياضيات كبراهماغوبتا تعاليم المصريين والبابليين على الرغم من اعتبار كتابي أرثمتكا لديفانتوس والسيدهانتالبراهماغوبتا بمستوى أعلى. فعلى سبيل المثال، تم وصف حل أول مسألة حسابية كاملة (مشتملة الصفر والقيمة السالبة) إلى المعادلات التربيعية من قبل براهماغوبتا في كتابه سيندهانتا. لاحقاً, طور الرياضيون العرب والمسلمون طرق جبر تصل مستويات عليا من الدقة والإتقان. وعلى الرغم من أن ديفانتوس والبابليون استخدموا معظم الطرق الخاصة في حل المعادلات، كان لمساهمة الخوارزمي السبق الأساسي بذلك. فلقد حل الخوارزمي المعادلات الخطية والتربيعية بدون الحاجة لرمزية الجبر والأعداد السالبة أوالصفر، ومن ثم قام بتمييز العديد من المعادلات التربيعية. عُرف عالم الرياضيات الاغريقي ديوفانتوس تاريخياً بلقب ” والد الجبر”، ولكن برزت في الآونة الأخيرة نقاشات كثيرة حول ما إذا كان الخوارزمي (مؤسس علم الجبر) يستحق هذا اللقب بدلا عن ديوفانتوس. حيث يشير مؤيدي ديوفانتوس إلى حقيقة أن علم الجبر المبتكر من قبل الخوارزمي أكثر بدائية مقارنة بالموجود في “أريثميتيكا”، وأن “أريثميتيكا” يتبع منهجية الاختصار بينما الجبر بلاغي تماماً. في حين يشير مؤيدي الخوارزمي إلى حقيقة أنه أدخل منهجية “التبسيط” و”الموازنة” (نقل التعابير السالبة إلى الجانب الآخر من المعادلة، أو بعبارة أخرى، حذف التعابير المتشابهة من كلا أطراف المعادلة) وهي المنهجية المعبر عنها في الأصل بكلمة “الجبر”، كما أنه أعطى شرحاً مفصلاً عن حل المعادلات التربيعية، مدعماً بالبراهين الهندسية، بينما عامل علم الجبر كعلم مستقل بذاته. كما أن “جبر” الخوارزمي ليس معني “بسلسلة من المسائل الرياضية التي يجب حلها، بل بعرضٍ يبدأ بتعابير بدائية، تعطي تركيباتهم جميع النماذج المحتملة للمعادلات، التي، من الان فصاعداً، ستشكل بوضوح موضوع الدراسة الحقيقي”. درس الخوارزمي أيضاً المعادلة لذاتها و”بشكل عام، لم يكتف ببساطة وجود المعادلة في سياق حل المسألة، بل باستخدامها خصيصاً لتعريف فئة من المسائل اللانهائية.

نسب الفضل لعالم الرياضيات الفارسي عمر الخيام في تحديد أسس الهندسة الجبرية وإيجاد الحل الهندسي العام للمعادلة التكعيبية. كما أوجد عالم رياضيات فارسي آخر يدعى شرف الدين الطوسي مجموعة من الحلول الجبرية والعددية لحالات مختلفة من المعادلات التكعيبية، بالإضافة إلى أنه طور مفهوم الدوال. علماء الرياضايات الهنديان مهافيرا وبهاسكارا الثاني، والفارسي الكرخي

، والصيني تشو شي جيه، قاموا بإيجاد حلول لحالات مختلفة من معادلات التكعيب ومعادلات الدرجة الرابعة والخامسة، والمعادلات كثيرة الحدود باستخدام الطرق العددية. في القرن الثالث عشر، اعتبر حل المعادلة التكعيبية من قبل ليوناردو فيبوناتشي بداية النهضة في علم الجبر في أوروبا، في حين أخذ العالم الإسلامي في التراجع لصالح العالم الاوربي الذي نهض في مجال تطوير علم الجبر.

تاريخ الجبر
يمثل عمل فرانسوا فييت في نهايات القرن السادس عشر بداية القواعد الكلاسيكية لعلم الجبر. في عام 1637م نشر رينيه ديكارت كتاب علم الهندسة مخترعا بذلك الهندسة التحليلية وقدم المناهج الجبرية الحديثة. كان الحل الجبري العام لمعادلات التكعيب ومعادلات الدرجة الرابعة الذي تم وضعها في منتصف القرن السادس عشر، حدث رئيسي آخر في تطور علم الجبر. وُضِعت فكرة المحددات من قبل عالم الرياضيات الياباني كوا سيكي في القرن السابع عشر الميلادي، تبع ذلك بشكل مستقل عالم الرياضيات غوتفريد لايبنتس بعد عشر سنوات، وذلك بهدف حل أنظمة المعادلات الخطية المتزامنة باستخدام المصفوفات. عمل غابرييل كرامرخلال القرن الثامن عشر على المصفوفات والمحددات. قام العالم جوزيف لوي لاغرانج بدراسة التباديل في منشورته المكونة من 1770 صفحة باسم “تأملات حول الحلول الجبرية للمعادلات” المكرسة لحلول المعادلات الجبرية، والتي قدم من خلالها معادلات لاجرانج . كان باولو روفيني أول شخص يضع نظرية زمر التباديل، و مثل اسلافه كانت نظريته أيضا في سياق حل المعادلات الجبرية.

تم تطوير علم الجبر المجرد في القرن التاسع عشر الميلادي، مستمداً من الرغبة في حل المعادلات، مركزاً في البداية على مايسمى حالياً بنظرية غالوا وعلى المسائل الإنشائية. للجبر الحديث جذور عميقة من العمل والدراسة تصل للقرن التاسع عشر الميلادي، مثل أعمال ريتشارد ديدكايند Richard Dedekind و ليوبلد كرونكر. كما يرتبط بفروع الرياضيات الأخرى مثل نظرية الأعداد الجبرية والهندسة الجبرية. كان جورج بيكوك هو من أسس التفكير البديهي في علم الحساب والجبر. اكتشف أوغست دو مورغان جبر العلاقات في كتابه منهج النظام المقترح للمنطق، ووضع جوزيه غيبس جبر المتجهات في وسط ثلاثي الأبعاد، كما طور آرثر كيلي جبر المصفوفات (وهو جبر غير تبادلي).

المجالات التي تحتوي على كلمة الجبر
مجالات الرياضيات:

الجبر الابتدائي، جزء من الجبر الذي عادة ما يتم تدريسه في مقررات الرياضيات الابتدائية.
الجبر المجرد، فيه بنية الهياكل الجبرية مثل الزمر، والحلقات والحقول التي تم تعريفها والتحقق منها بديهياً .
الجبر الخطي، والذي يتم دراسة خصائص محددة من المعادلات الخطية، وفضاء المتجهات والمصفوفات.
الجبر التبادلي ، دراسة الحلقات التبادلية
الجبر الكمبيوتر، تنفيذ أساليب جبرية كالخوارزميات وبرامج الكمبيوتر.
الجبر التماثلي، دراسة الهياكل الجبرية التي تعتبر أساسية لدراسة الفضاء الطوبولوجي.
الجبر الشامل، الذي يتم فيها دراسة الخصائص المشتركة بين جميع الهياكل الجبرية.
النظرية الجبرية للأعداد، حيث يتم دراسة خصائص الأعداد من وجهة نظر جبرية.
الهندسة الجبرية، وهي فرع من الهندسة، في شكل بدائي لتحديد المنحنيات والسطوح من قبل حلول المعادلات عديدة الحدود.
التوافيق الجبرية، تستخدم أساليب جبرية لدراسة مسائل التوافيق
العديد من البنى الرياضية تسمى بالجبر :

الجبر المجرد أو بشكل أعم الجبر على حقل
يشمل الجبر التجريدي أو الجبر على حقل العديد من الأنواع:

الجبر التجميعي
الجبر غير التجميعي
جبر لاي
جبر هوبف
جبر النجمي سي
جبر التناظر
الجبر الخارجي
جبرالموترات
في نظرية القياس:
جبر سيجما
الجبر على مجموعة
في نظرية الفئات
في المنطق:
جبر العلاقات، حيث تكون المجموعة محدودة العلاقة مغلقة تحت عمليات معينة.
جبر بولياني, بناء يلخص الحساب مع القيم الحقيقية الخاطئة والصحيحة
جبر هيتنج

الجبر الابتدائي هو جزء من الجبر الذي عادة يدرس في الصفوف الأولية للرياضيات.الجبر المجرد هو اسم يعطى عادة لدراسة مؤسسي الجبر أنفسهم.

تاريخ

بداية الجبر كمجال من الرياضيات قد تكون بدايتها في نهاية القرن السادس عشر، مع عمل فرانسوا فييت . ومع ذلك يمكن اعتبار بعض الأعمال في وقت سابق بانها الجبر وتعتبر عهد ما قبل التاريخ من علم الجبر.

عصور ما قبل التاريخ من الجبر



مراحل الجبر
لم يستفد الجبر دائما من الرمزية التي أصبحت موجودة في الرياضيات في العصر الحالي. بدلا من ذلك، مرت ثلاث مراحل متميزة في تطوير الجبر الرمزي هي كما يلي:

الجبر البلاغي
حيث تكتب المعادلات بالجمل الكاملة. على سبيل المثال، يكون الشكل الخطابي لـ x + 1 = 2 هو “الشيء زائد واحد يساوي اثنين” أو ربما “الشيء زائد 1 يساوي 2”. فطور الجبر البلاغي لأول مرة من قبل البابليين القدماء وظلوا مهيمنين حتى القرن السادس عشر.

الجبر المتزامن
الذي تستخدم فيه بعض الرمزية، لكنه لا يحتوي على جميع خصائص الجبر الرمزي. على سبيل المثال: قد يكون هناك قيود على أنه لا يجوز استخدام الطرح إلا مرة واحدة داخل جانب واحد من المعادلة، وهو ليس الحال مع الجبر الرمزي.

الجبر الرمزي
حيث تستخدم الرمزية الكاملة. ويمكن رؤية خطوات مبكرة نحو ذلك في عمل العديد من علماء الرياضيات الإسلاميين مثل ابن البناء المراكشي (القرنين الثالث عشر والرابع عشر) وأبي الحسن علي القلصادي (القرن الخامس عشر)، على الرغم من أن الجبر الرمزي بالكامل قد طوره فرانسوا فييت (القرن السادس عشر). في وقت لاحق، قدم رينيه ديكارت (القرن السابع عشر) التدوين الحديث (على سبيل المثال، استخدام x ) وأظهر أن المشاكل التي تحدث في الهندسة يمكن التعبير عنها وحلها من حيث الجبر (الهندسة الديكارتية).

بنفس القدر من الأهمية حيث كان استخدام أو عدم وجود رمزية في الجبر هو درجة المعادلات التي تم تناولها. لعبت المعادلات التربيعية دورا هاما في الجبر المبكر. وخلال مراحل التاريخ، حتى الفترة الحديثة المبكرة، وصنفت جميع المعادلات التربيعية على أنها تنتمي إلى واحدة من ثلاث فئات:

المراحل المفاهيمية
بالإضافة إلى المراحل الثلاث للتعبير عن الأفكار الجبرية، اعترف بعض المؤلفين بأربعة مراحل مفاهيمية في تطور الجبر الذي حدث جنبا إلى جنب مع التغيرات في التعبير. كانت هذه المراحل الأربع كما يلي:

المرحلة الهندسية، حيث مفاهيم الجبر هندسية إلى حد كبير. يعود هذا إلى علماء البابليين واستمر مع الإغريق، وأحيى لاحقا من قبل عمر الخيام.
مرحلة حل المعادلة الثابتة، حيث يتمثل الهدف في العثور على أرقام تحقق علاقات معينة. الابتعاد عن الجبر الهندسي يعود إلى ديوفانتوس الإسكندري وبراهماغوبتا، ولكن لم الجبر لا تتحرك بحزم لمرحلة حل معادلة ثابتة حتى الخوارزمي عرض العمليات الحسابية معممة من أجل حل المشاكل الجبرية.
مرحلة الوظيفة الديناميكية، حيث تكون الحركة فكرة أساسية. بدأت فكرة الوظيفة في الظهور مع شرف الدين الطوسي، لكن الجبر لم ينتقل بشكل حاسم إلى مرحلة الوظيفة الديناميكية حتى غوتفريد لايبنتس.
مرحلة الملخص، حيث تلعب البنية الرياضية دورًا مركزيًا. الجبر المجرد هو إلى حد كبير نتاج القرنين التاسع عشر والعشرين.

كتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة

هو كتاب في الرياضيات باللغة العربية بين (813 و833) من قبل عالم الرياضيات المسلم الخوارزمي ، وضع الخوارزمي أسس علم الجبر كونها أول دراسة منهجية لحل معادلة من الدرجة الأولى والثانية، وقد عمل خلفاء الخوارزمي على توسيع نطاق عمله في كتب أخرى التي غالبا ما تحمل نفس العنوان.

السياق
في عهد المأمون (813-833)، التي كانت الدولة العباسية في أوج ازدهارها، طلب الخليفة من الخوارزمي – حيث كان عالما مشهورا يعمل في بيت الحكمة في بغداد – تقييم الطرق الرياضية المفيدة في إدارة هذه الدولة الضخمة التي تمتد من آسيا الوسطى إلى جبال البرانس.

المحتوى

صفحات من القرن الرابع عشر تُظهر حلولاً هندسية لمعادلتين تربيعيتين

الكتاب يحتوي على كل ما هو مفيد في حساب ما يحتاجه الناس في مسائل الميراث ، ومشاكل التقسيم ، والتقاضي ، والتجارة ، وبشكل عام لجميع العلاقات المتبادلة أو أيضًا في مسح الأراضي وحفر القنوات والحسابات الهندسية وأشياء أخرى متنوعة حيث ينقسم الكتاب إلى 3 أجزاء:

منهج ومعالجة معادلات الدرجة الأولى والثانية وهو الجزء الرئيسي من الكتاب.
منهج لحساب المساحات والأحجام لبعض الأشكال الهندسية.
حل مسائل الميراث والوصايا والتكمّلة والرق في الإسلام
وفي هذه الأطروحة، دراسة منهجية لمجموعة من المعادلات، وتغطي هذه الدراسة الحلول الكاملة لمعادلة رياضية، وتختلف طريقة وصف المعادلات في الكتاب عن الطريقة الحديثة للرياضيات حيث يتم عرضها بالمقادير الجبرية وهي المقادير أو الأعداد التي يحتاج إليها في حساب الجبر والمقابلة وهي ثلاثة على نحو التالي:

أي معادلة من الدرجة الأولى أو الثانية يمكن تحويلها إلى إحدى الحالات الست المذكورة أعلاه بمعاملات موجبة. لهذا، استخدم الخوارزمي التقنيتين التي أعطت اسمها للكتاب : “الجبر” و”المقابلة”، الجبر والمقابلة هما جانبان مما يصطلح اليوم بـ”التحويل”.

الجبر
الجبر بمعنى “إصلاح الكُسر” ،حيث تم نقل الكلمة إلى اللاتينية، وأصبحت algebra. الجبر هو تبسيط المعادلة من خلال إزالة الطرح وهذا بإضافة حدود في طرفيها. أي بالمصطلح الحديث الحصول على معادلة بمعاملات موجبة.

مثال :
x2 = 40x − 4×2 تحول بالجبر إلى x2 + 4×2 = 40x، ثم إلى 5×2 = 40x.

في الواقع ، سمى الخوارزمي الحدود المطروحة (مثل 2 × 4 في المثال السابق): “ناقص”. الكلمة المستخدمة هي نفسها للدلالة على أطرافه لمبتوري الأطراف. وبالتالي الجبر هو استعادة ما هو مفقود في المعادلة.

المقابلة
إزالة الطرح بالجبر ليس كافيا للحصول على إحدى الحالات الست.

مثال :
x2 + 5 = 40x + 4×2 يحتوي على مربعات في كلا الطرفين، ولكن كل طرف هو مجموع

المقابلة تتمثل في طرح كمية من نفس النوع (الدرهم، جذر أو مربع) بحيث لا يبقى منه في الجانبين من المعادلة في نفس الوقت.

مثال :
في المعادلة التالية: x2 + 5 = 40x + 4×2 ، نطرح x2 للحصول على 5 = 40x + 3×2.

مشكلة الترجمة

صفحة الترجمة إلى اللغة اللاتينية، بدءبـ Dixit Algoritmi (مكتبة جامعة كامبردج،.li.6.5

بقيت نسخة واحدة باللغة العربية موجودة بجامعة أكسفورد ومؤرخة في 1361، وفي عام 1831، نشر فردريك روزن ترجمة باللغة الإنجليزية معتمدا على هذا المخطوط. وقال، في مقدمته، أنه يلاحظ أن الكتابة “بسيطة وقابلة للقراءة” ولكن قد تم حذف التشكيل، مما يجعل فهم بعض العبارات صعبا